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How much would this cost ?MAT1720 – INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS – H20 ÉNONCÉ DU TRAVAIL FINAL (40%) THOMAS DAVIGNON Consignes pédagogiques • Vous devez rendre votre travail au format PDF, par StudiUM. Je n’accepterai aucun travail rendu par une autre méthode ou dans un autre format. • Vous devez rendre votre travail au plus tard le mardi 21 avril à 23h 59. Ça vous donne exactement 4 semaines. Au-delà de cette date, vous serez pénalisé.e.s de 15% par jour de retard. • Votre travail doit être typographié. Aucun travail manuscrit ne sera accepté. Des ressources seront disponibles en ligne pour vous aider à maîtriser le logiciel de ty- pographie mathématique de votre choix (Microsoft Word, LibreOffice Writer, LATEX). Il y a définitivement une courbe d’apprentissage avec ces outils (spécialement avec LATEX). Toutefois, le temps consacré à cet apprentissage ne sera pas perdu. LATEX est le standard en rédaction scientifique, mais peu importe l’outil, il est impératif que vous apprenniez à typographier des mathématiques adéquatement. • Vous devez rendre un travail par personne. Vous pouvez communiquer entre vous et vous entraider, bien sûr, mais vous devez remettre chacun.e votre propre travail. Date: 26 mars 2020. 1 2 THOMAS DAVIGNON 1. Le jeu Clue Au jeu Clue, Axel, Bénédicte, Claude, Dominique, Éli et Fred doivent deviner comment Mr Bobby a été assassiné dans son somptueux manoir anglais. Pour déterminer comment le meurtre a été commis, on pige des cartes. Il y a — 9 « pièces » ; — 6 « personnages » ; — 6 « armes ». et une unique carte respectivement pour chaque pièce, chaque arme et chaque personnage. On tire aléatoirement une carte de chaque pile, puis on les place dans une enveloppe. Le but du jeu est de déterminer quelle combinaison de cartes est dans l’enveloppe. On bat ensuite ensemble les 18 cartes restantes (5 personnages, 5 armes et 8 pièces), puis on les répartit équitablement entre les 6 joueurs ; chaque joueur recevra donc trois cartes au début de la partie. Problème 1. On n’a pas encore distribué les cartes. (a) Supposons que Axel devait deviner le crime maintenant. Quelle serait la probabilité que son choix soit le bon ? (b) Supposons que Axel devra deviner le crimme immédiatement après avoir vu ses trois cartes. Est-ce que cela augmentera sa probabilité de deviner le crime correctement ? Expliquer pourquoi ou pourquoi pas. (c) Donner la probabilité qu’Axel devinera le crime correctement après avoir vu ses cartes. Problème 2. Le crime a été choisi au hasard, on a brassé les cartes, on les a distribué. (a) Quelle est la probabilité qu’Axel ait Miss Scarlett dans son jeu ? (b) Quelle est la probabilité que Miss Scarlett soit la coupable sachant qu’Axel n’a pas Miss Scarlett dans son jeu ? TRAVAIL FINAL 3 2. L’espérance d’une variable aléatoire positive discrète Nous avons vu en cours que lorsque X est une variable aléatoire positive continue et que sa fonction de répartition complémentaire est F (x) = P {X > x}, alors on a que E [X] = ∫ ∞ 0 F (x)dx. Nous allons maintenant montrer que ce résultat est aussi vrai siX est une variable aléatoire discrète. Pour ce faire, on commence par prouver une identité pratique. Lemme (Sommation d’Abel). Si a1, a2, a3, . . . et b1, b2, b3, . . . sont deux suites de nombres réels, et qu’on définit pour tout n les suites An = an+1 − an; Bn = bn+1 − bn. Alors, N∑ n=M anBn = aN+1bN+1 − aMbM − N∑ n=M Anbn+1. Démonstration. On a que N∑ n=M anBn + N∑ n=M Anbn+1 = N∑ n=M [an(bn+1 − bn) + (an+1 − an)bn+1] = N∑ n=M [anbn+1 − anbn + an+1bn+1 − anbn+1] = N∑ n=M [an+1bn+1 − anbn] = aN+1bN+1 − aMbM . � Problème 3. Soit X une variable aléatoire discrète positive de support V = {v1, v2, v3, . . .} (on assume que 0 ≤ v1  0. On définit Sn = ∑n i=1Xi. (a) Trouver la densité conditionnelle de X1 sachant Sn. (b) Montrer que sachant Sn = t, X1/t suit une loi Beta (1, n− 1). (c) En remarquant que la densité conditionnelle de X1/t sachant que Sn = t ne dépend pas de t, déduire que X1/Sn suit une loi Beta(1, n− 1). (d) Utiliser un argument d’interchangeabilité pour justifier queXi/Sn suit une loi Beta(1, n− 1) pour tout i de 1 à n. 6 THOMAS DAVIGNON 4. Le paradoxe de Saint-Pétersbourg On considère le jeu de hasard suivant : 1. On paye un prix d’entrée C pour jouer une partie. 2. La partie débute avec un enjeu fixe de 1 dollar. 3. On tire une pièce de monnaie. Chaque fois qu’on fait pile, l’enjeu est doublé. Lorsqu’on fait face, on remporte l’enjeu et la partie se termine. Un résultat bien connu de ce jeu est que l’espérance du gain d’une partie est infinie. Si X est la mise remportée au cours de la partie, on a que X = 2Y−1, où Y est une variable aléatoire géométrique de paramètre p = 12 . On trouve E [X] = E [ 2Y−1 ] = ∞∑ i=1 2i−1 1 2i , et la série diverge. L’objectif des problèmes qui suivent, c’est de montrer qu’on va toujours finir par gagner autant d’argent qu’on veut si on joue à ce jeu de façon répétée. Problème 6. Supposons qu’on joue plusieurs parties consécutives et que l’enjeu remporté à la ième partie est Xi – les Xi sont indépendants et identiquement distribués comme 2Yi−1, où les Yi sont une suite de variables aléatoires géométriques indépendantes de paramètre p = 1/2. On va noter Gn = ∑n i=1Xi − nC le gain net après n parties. Supposons que h soit l’objectif à atteindre – c’est le montant d’argent qu’on veut gagner, net. (a) Pour un certain paramètre K entier positif (à fixer plus tard), on se définit une nouvelle suite de variables aléatoires : Tn = min{Xn, 2K} Expliquer pourquoi Tn ≤ Xn. (b) Trouver P { Tn = 2 k } pour k = 0, 1, 2, . . . ,K. (c) Montrer que E [Tn] = K + 2 2 . (d) On fixe maintenant K = 2C. On définit µ = C + 1 = E [T1], et Hn = n∑ i=1 Ti − nC. Montrer que E [Hn] = n. (e) Utiliser la loi des grands nombres faible pour montrer que h ∈ R, lim n→∞ P {Hn > h} = 1 (f) Déduire que lim n→∞ P {Gn > h} = 1 pour tout n. TRAVAIL FINAL 7 5. Le processus branchant On veut modéliser la croissance d’une population. Pour ce faire, on fait l’hypothèse que chaque individu se reproduit et crée une portée d’une nombre aléatoire d’individus dans la génération suivante. On définit Xn,i le nombre d’enfants de l’ième individu de la nième génération. Les Xn,i sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On définit Z0 = 1. Puis, on définit par récurrence Zn+1 = ∑Zn i=1Xn,i le nombre d’individus total de la n + 1ième génération comme étant égal à la somme du nombre d’enfants de chacun des Zn individus de la nième génération. Le problème qui suit vise à explorer brièvement le processus branchant au moyen de fonctions génératrices. Problème 7. Soit ψ la fonction génératrice des probabilités de la distribution marginale des Xn,i. Soit également ψn la fonction génératrice des probabilités de Zn. (a) Montrer que E [ sZn+1 ∣∣ Zn] = ψ(s)Zn . (b) Déduire que ψn+1 = ψn ◦ ψ. (i.e. ψn+1(s) = ψn(ψ(s))) (c) Montrer que E [Zn] = µn, où µ = ψ′(1). (d) On suppose que 0

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