ASSIGNMENT 5 1. [3 marks] Let f(x; y) = exy2 . Find fxyx; fxxy and fyxx and verify their equality. 2. [3 marks] Let z = x2??y2, where x = v cos u, y = v sin u: Find @z @v and @z @u by the chain rule....

Sol: (1)  
2
, xyf x y e
(a) Find xyxf ,
 
 
 
 
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
3 2
,
, 2
, 2
, 2 2
xy
x
xy xy
xy
xy xy xy
xyx
xy
xyx
f x y y e
f x y y e xy e
f x y y e y xy e y y e
f x y y e xy

  
 
   
 
   

(b) Find ,xxyf
 
 
   
 
2
2
2 2
2
2
4
3 4
3 2
,
,
, 4 2
, 2 2
xy
x
xy
xx
xy xy
xxy
xy
xyx
f x y y e
f x y e y
f x y y e y e xy
f x y y e xy

 
 
 
   

(c) Find ,yxxf
 
 
 
 
2
2 2
2 2 2
2
2
4 2 2
3 2
, 2
, 2
, 2
, 2 2
xy
y
xy xy
yx
xy xy xy
yxx
xy
xyx
f x y xye
f x y y xy e e
f x y y xy e y e y e
f x y y e xy

  
 
   
 
   

So we can see that
     , , ,xyx xxy yxxf x y f x y f x y 
Sol: (2) Let
2 2 , cos , sinz x y where x v u y v u   
(a) Find ,
z
v



     
   
2 cos 2 sin
2 cos sin
z z x z y
v x v y v
z
x u y u
v
z
x u y u
v
    
 
    

  


   

(a) Find ,
z
u



     
   
2 sin 2 cos
2 sin cos
z z x z y
u x u y u
z
x v u y v u
v
z
v x u y u
v
    
 
    

   


    
Sol: (3) If    , and ,u x y v x y satisfy the Cauchy-Riemann equations
, ............... (1),
u v u v
x y y x
   
  
   

And if cos and sin ,x r y r   then...